Eng Amr MOh - (ملاحظات) تالتة ثانوي

مثال: جسم كتلته 5كجم ساكن على سطح أملس. القوى المؤثرة: قوة دفع 10ن يمينًا وقوة مقاومة 10ن يسارًا. احسب التسارع.
الحل: \( \sum F = 10 - 10 = 0 \rightarrow a = 0 \, \mathrm{m/s^2} \).

مثال: كتلة 2كجم، تسارع 3م/ث². احسب القوة.
الحل: \( F = 2 \times 3 = 6 \, \mathrm{N} \).

مثال: جسم يدفع جدارًا بقوة 50ن. احسب قوة رد الفعل.
الحل: \( F_{\text{reaction}} = -50 \, \mathrm{N} \) (معاكسة).

مثال: سرعة أولية 5م/ث، تسارع 2م/ث²، زمن 3ث. احسب السرعة النهائية.
الحل: \( v = 5 + 2 \times 3 = 11 \, \mathrm{m/s} \).

مثال: سرعة أولية 0م/ث، تسارع 2م/ث²، زمن 4ث. احسب المسافة.
الحل: \( s = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 2 \times 4^2 = 16 \, \mathrm{m} \).

مثال: سرعة أولية 0م/ث، تسارع 2م/ث²، مسافة 20م. احسب السرعة النهائية.
الحل: \( v^2 = 0^2 + 2 \times 2 \times 20 = 80 \rightarrow v = \sqrt{80} \approx 8.94 \, \mathrm{m/s} \).

مثال: قوة 10ن، مسافة 5م، زاوية 0°. احسب الشغل.
الحل: \( W = 10 \times 5 \times \cos(0^\circ) = 50 \, \mathrm{J} \).

مثال: كتلة 3كجم، سرعة 4م/ث. احسب الطاقة الحركية.
الحل: \( E_k = \frac{1}{2} \times 3 \times 4^2 = 24 \, \mathrm{J} \).

مثال: كتلة 2كجم، ارتفاع 10م، \( g = 10 \, \mathrm{m/s^2} \). احسب الطاقة الكامنة.
الحل: \( E_p = 2 \times 10 \times 10 = 200 \, \mathrm{J} \).

مثال: جسم كتلته 1كجم يتحرك بسرعة 4م/ث عند ارتفاع 5م، \( g=10 \, \mathrm{m/s^2} \). احسب الطاقة الكلية.
الحل: \( E_k = \frac{1}{2} \times 1 \times 4^2 = 8 \, \mathrm{J} \), \( E_p = 1 \times 10 \times 5 = 50 \, \mathrm{J} \), \( E_{\text{total}}} = 8 + 50 = 58 \, \mathrm{J} \).

مثال: كتلة 5كجم، سرعة 2م/ث. احسب الزخم.
الحل: \( p = 5 \times 2 = 10 \, \mathrm{kg \cdot m/s} \).

مثال: جسم 2كجم بسرعة 3م/ث يصطدم بجسم 3كجم ساكن. احسب السرعة بعد التصادم (تصادم غير مرن).
الحل: \( 2 \times 3 + 3 \times 0 = (2 + 3) \times v' \rightarrow v' = \frac{6}{5} = 1.2 \, \mathrm{m/s} \).

مثال: عزم قصور ذاتي 2كجم·م²، سرعة زاوية 3راد/ث. احسب الزخم الزاوي.
الحل: \( L = 2 \times 3 = 6 \, \mathrm{kg \cdot m^2/s} \).

مثال: جسم 1كجم يسقط من ارتفاع 10م، \( g = 10 \, \mathrm{m/s^2} \). احسب السرعة عند الأرض.
الحل: \( E_p = E_k \rightarrow m g h = \frac{1}{2} m v^2 \rightarrow 10 \times 10 = \frac{1}{2} v^2 \rightarrow v = \sqrt{200} \approx 14.14 \, \mathrm{m/s} \).

مثال: كتلتان 2كجم و3كجم، المسافة 1م. احسب القوة (\( G = 6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{N \cdot m^2/kg^2} \)).
الحل: \( F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{2 \times 3}{1^2} = 4 \times 10^{-10} \, \mathrm{N} \).

مثال: تردد 50هرتز، طول موجة 2م. احسب السرعة.
الحل: \( v = 50 \times 2 = 100 \, \mathrm{m/s} \).

مثال: تردد مصدر 1000هرتز، سرعة الصوت 340م/ث، مصدر يتحرك ب20م/ث نحو المراقب. احسب التردد.
الحل: \( f' = 1000 \times \frac{340}{340 - 20} = 1062.5 \, \mathrm{Hz} \).

مثال: عدسة ببعد بؤري 10سم، جسم على بعد 15سم. احسب موقع الصورة.
الحل: \( \frac{1}{10} = \frac{1}{15} + \frac{1}{v} \rightarrow \frac{1}{v} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} \rightarrow v = 30 \, \mathrm{cm} \).

مثال: زاوية السقوط 30°، زاوية الانكسار 20°. احسب معامل الانكسار.
الحل: \( n = \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(20^\circ)} = \frac{0.5}{0.342} \approx 1.46 \).

مثال: حل المعادلة \( x^2 - 4x + 3 = 0 \).
الحل: \( x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \rightarrow x = 3, 1 \).

مثال: أوجد معادلة المستقيم الذي يمر بالنقطة \( (2, 3) \) وميله 2.
الحل: \( y - 3 = 2 (x - 2) \rightarrow y = 2x - 1 \).

مثال: دائرة مركزها \( (2, 3) \)، نصف قطرها 5. اكتب المعادلة.
الحل: \( (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25 \).

مثال: قطع ناقص بـ \( a=4 \), \( b=3 \). اكتب المعادلة.
الحل: \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \).

مثال: قطع زائد بـ \( a=2 \), \( b=3 \). اكتب المعادلة.
الحل: \( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \).

مثال: متتالية حسابية \( a_1=2 \), \( d=3 \). احسب الحد الخامس.
الحل: \( a_5 = 2 + (5-1) \times 3 = 14 \).

مثال: متتالية حسابية \( a_1=2 \), \( d=3 \), \( n=5 \). احسب المجموع.
الحل: \( S_5 = \frac{5}{2} [2 \times 2 + (5-1) \times 3] = 50 \times 2 = 40 \).

مثال: متتالية هندسية \( a_1 \), \( r=2 \). احسب الحد الرابع.
الحل: \( a_4 = 1 \times 2^{4-1} = 8 \).

مثال: متتالية هندسية \( a_1=2 \), \( r=2 \), \( n=4 \). احسب المجموع.
الحل: \( S_4 = \frac{2 (1 - 2^4)}{1 - 2} = \frac{2 (1 - 16)}{-1} = 30 \).

مثال: متتالية هندسية \( a_1=1 \), \( r=\dfrac{1}{2} \). احسب المجموع اللانهائي.
الحل: \( S_\infty = \dfrac{1}{1 - \dfrac{1}{2}} = 2 \).

مثال: مستقيم ميله 2 ويقطع المحور \( y عند 3. اكتب المعادلة.
الحل: \( y = 2x + 3 \).

مثال: حل المتباينة \( 2x + 3 > 5 \).
الحل: \( 2x > 2 \rightarrow x > 1 \).

مثال: اشتق \( f(x) = x^3 \).
الحل: \( f'(x) = 3x^2 \).

مثال: اشتق \( f(x) = \sin x \).
الحل: \( f'(x) = \cos x \).

مثال: اشتق \( f(x) = \cos x \).
الحل: \( f'(x) = -\sin x \).

مثال: اشتق \( f(x) = \tan x \).
الحل: \( f'(x) = \sec^2 x \).

مثال: اشتق \( f(x) = x \sin x \).
الحل: \( f'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x \cos x \).

مثال: كامل \( \int x^2 \, dx \).
الحل: \( \frac{x^3}{3} + C \).

مثال: كامل \( \int \sin x \, dx \).
الحل: \( -\cos x + C \).

مثال: كامل \( \int \cos x \, dx \).
الحل: \( \sin x + C \).

مثال: كامل \( \int e^x \, dx \).
الحل: \( e^x + C \).

مثال: كامل \( \int \frac{1}{x} \, dx \).
الحل: \( \ln|x| + C \).

مثال: أوجد معادلة المماس لـ \( f(x) = x^2 \) عند \( x=1 \).
الحل: \( f'(x) = 2x \rightarrow m = 2 \), \( y = 1 \), \( y - 1 = 2(x - 1) \rightarrow y = 2x - 1 \).

مثال: احسب \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \).
الحل: \( 2^2 - 4 = 0 \).

مثال: احسب \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \).
الحل: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1 \).

مثال: اشتقط ضمنيًا \( x^2 + y^2 = 25 \).
الحل: \( 2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} \).

مثال: كامل \( \int x e^{x^2} \, dx \).
الحل: نختار \( u = x^2 \)، إذن \( du = 2x \, dx \implies x \, dx = \frac{1}{2} du \). التكامل يصبح: \( \frac{1}{2} \int e^u \, du = \frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C \).

مثال: كامل \( \int x \cos x \, dx \).
الحل: نختار \( u = x \implies du = dx \)، \( dv = \cos x \, dx \implies v = \sin x \). التكامل: \( x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C \).

مثال: كامل \( \int_0^1 x^2 \, dx \).
الحل: \( F(x) = \frac{x^3}{3} \), إذن \( \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} \).

مثال: أوجد النقاط الحرجة لـ \( f(x) = x^3 - 3x \).
الحل: \( f'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \implies x = \pm 1 \).

مثال: احسب المساحة تحت \( f(x) = x \) من \( x=0 \) إلى \( x=2 \).
الحل: \( \int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 2 \).

مثال: احسب المتوسط للأعداد: 2، 4، 6، 8.
الحل: \( \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8}{4} = 5 \).

مثال: أوجد الوسيط للأعداد: 3، 1، 5، 4، 2.
الحل: الترتيب: 1، 2، 3، 4، 5. الوسيط = 3.

مثال: أوجد المنوال للأعداد: 2، 3، 3، 4، 5.
الحل: المنوال = 3.

مثال: في رمي نرد، احسب احتمال ظهور عدد زوجي.
الحل: الحالات المواتية: 2، 4، 6 (3 حالات)، الكلية: 6. \( P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).

مثال: إذا \( \vec{a} = (2, 3) \)، \( \vec{b} = (1, 4) \)، احسب \( \vec{a} + \vec{b} \).
الحل: \( (2+1, 3+4) = (3, 7) \).

مثال: إذا \( \vec{a} = (2, 3) \)، \( \vec{b} = (1, 4) \)، احسب \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).
الحل: \( 2 \times 1 + 3 \times 4 = 2 + 12 = 14 \).

مثال: احسب طول \( \vec{a} = (3, 4) \).
الحل: \( |\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \).

مثال: سيارة تتحرك بسرعة 20م/ث في دائرة نصف قطرها 50م. احسب التسارع المركزي.
الحل: \( a_c = \frac{20^2}{50} = \frac{400}{50} = 8 \, \mathrm{m/s^2} \).

مثال: جسم كتلته 2كجم يتحرك بسرعة 10م/ث في دائرة نصف قطرها 5م. احسب القوة المركزية.
الحل: \( F_c = 2 \times \frac{10^2}{5} = 2 \times \frac{100}{5} = 40 \, \mathrm{N} \).

مثال: سيارة تتحرك بسرعة 15م/ث في دائرة نصف قطرها 30م. احسب السرعة الزاوية.
الحل: \( \omega = \frac{15}{30} = 0.5 \, \mathrm{rad/s} \).

مثال: سرعة زاوية تغيرت من 2راد/ث إلى 4راد/ث في 5ث. احسب العجلة الزاوية.
الحل: \( \alpha = \frac{4 - 2}{5} = 0.4 \, \mathrm{rad/s^2} \).

مثال: جسم كتلته 10كجم معلق بحبل. احسب التوتر في الحبل.
الحل: \( \sum F = 0 \implies T - mg = 0 \implies T = 10 \times 9.8 = 98 \, \mathrm{N} \).

مثال: جسم كتلته 5كجم يتعرض لقوة 20ن. احسب التسارع.
الحل: \( a = \frac{F}{m} = \frac{20}{5} = 4 \, \mathrm{m/s^2} \).

مثال: جسم يضرب الأرض بقوة 50ن. ما قوة رد الفعل؟
الحل: \( F_{\text{reaction}} = -50 \, \mathrm{N} \) (باتجاه معاكس).

مثال: جسم كتلته 10كجم على سطح أفقي (\( \mu_s = 0.4 \)). احسب أقصى قوة احتكاك ساكن.
الحل: \( N = mg = 10 \times 9.8 = 98 \, \mathrm{N} \), \( f_s \leq 0.4 \times 98 = 39.2 \, \mathrm{N} \).

مثال: جسم كتلته 5كجم يتحرك على سطح (\( \mu_k = 0.3 \)). احسب قوة الاحتكاك الحركي.
الحل: \( N = mg = 5 \times 9.8 = 49 \, \mathrm{N} \), \( f_k = 0.3 \times 49 = 14.7 \, \mathrm{N} \).

مثال: جسم كتلته 10كجم على مستوى مائل بزاوية 30° (\( \mu_s = 0.4 \)). احسب أقصى قوة احتكاك لمنع الانزلاق.
الحل: \( N = mg \cos 30^\circ = 10 \times 9.8 \times 0.866 = 84.87 \, \mathrm{N} \), \( f_s \leq 0.4 \times 84.87 = 33.95 \, \mathrm{N} \).

مثال: شحنتتان \( q_1 = 2 \times 10^{-6} \, \mathrm{C} \) و \( q_2 = -3 \times 10^{-6} \, \mathrm{C} \)، المسافة بينهما 2م. احسب القوة.
الحل: \( F = 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{2^2} = 0.0135 \, \mathrm{N} \) (جذب).

مثال: شغل 10ج لنقل شحنة 2ك. احسب الجهد.
الحل: \( V = \frac{10}{2} = 5 \, \mathrm{V} \).

مثال: تيار 0.5أ يمر بمقاومة 10أوم. احسب الجهد.
الحل: \( V = 0.5 \times 10 = 5 \, \mathrm{V} \).

مثال: جهد 220ف وتيار 2أ. احسب القدرة.
الحل: \( P = 220 \times 2 = 440 \, \mathrm{W} \).

مثال: مقاومتان 4أوم و6أوم على التوالي. احسب المقاومة المكافئة.
الحل: \( R_{\text{eq}} = 4 + 6 = 10 \, \mathrm{\Omega} \).

مثال: مقاومتان 4أوم و6أوم على التوازي. احسب المقاومة المكافئة.
الحل: \( \frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \)، إذن \( R_{\text{eq}} = \frac{12}{5} = 2.4 \, \mathrm{\Omega} \).

مثال: جهد 100ف بين لوحين، المسافة 0.02م. احسب شدة المجال.
الحل: \( E = \frac{100}{0.02} = 5000 \, \mathrm{N/C} \).

مثال: مكثف يخزن شحنة \( 20 \times 10^{-6} \, \mathrm{C} \) عند جهد 10ف. احسب السعة.
الحل: \( C = \frac{20 \times 10^{-6}}{10} = 2 \times 10^{-6} \, \mathrm{F} = 2 \, \mathrm{\mu F} \).

مثال: مكثفان 2ميكروفاراد و3ميكروفاراد على التوازي. احسب السعة المكافئة.
الحل: \( C_{\text{eq}} = 2 + 3 = 5 \, \mathrm{\mu F} \).

مثال: مكثفان 2ميكروفاراد و3ميكروفاراد على التوالي. احسب السعة المكافئة.
الحل: \( \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \)، إذن \( C_{\text{eq}} = \frac{6}{5} = 1.2 \, \mathrm{\mu F} \).

مثال: مكثف سعته 4ميكروفاراد وجهده 10ف. احسب الطاقة.
الحل: \( E = \frac{1}{2} \times 4 \times 10^{-6} \times 10^2 = 2 \times 10^{-4} \, \mathrm{J} \).

مثال: شحنة 50ك تمر في 10 ثوان. احسب التيار.
الحل: \( I = \frac{50}{10} = 5 \, \mathrm{A} \).

مثال: شحنة \( 2 \times 10^{-6} \, \mathrm{C} \) تتحرك بسرعة 5م/ث في مجال 0.3تسلا عموديًا. احسب القوة.
الحل: \( F = 2 \times 10^{-6} \times 5 \times 0.3 = 3 \times 10^{-6} \, \mathrm{N} \).

مثال: تيار 2أ يمر في سلك، المسافة 0.1م. احسب المجال المغناطيسي.
الحل: \( B = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2}{2 \pi \times 0.1} = 4 \times 10^{-6} \, \mathrm{T} \).

مثال: تيار 5أ في موصل طوله 0.2م في مجال 0.4تسلا عموديًا. احسب القوة.
الحل: \( F = 5 \times 0.2 \times 0.4 = 0.4 \, \mathrm{N} \).

مثال: مجال 0.5تسلا، مساحة 0.1م²، زاوية 30°. احسب التدفق.
الحل: \( \Phi = 0.5 \times 0.1 \times \cos(30^\circ) = 0.0433 \, \mathrm{Wb} \).

مثال: التدفق يتغير بمعدل 0.02Wb/s. احسب الجهد المتحريض.
الحل: \( \mathcal{E} = -0.02 \, \mathrm{V} \).

مثال: كتلة 0.5كجم، حرارة نوعية 4200 J/kg·°C، تغير درجة الحرارة 20°C. احسب الحرارة.
الحل: \( Q = 0.5 \times 4200 \times 20 = 42000 \, \mathrm{J} \).

مثال: كتلة 2كجم، حرارة انصهار 334000 J/kg. احسب الحرارة.
الحل: \( Q = 2 \times 334000 = 668000 \, \mathrm{J} \).

مثال: توصيل 50W، مساحة 2م²، فرق درجة حرارة 30°C، سمك 0.1م. احسب \( k \).
الحل: \( 50 = k \times 2 \times \frac{30}{0.1} \rightarrow k = \frac{50 \times 0.1}{2 \times 30} = 0.083 \, \mathrm{W/m \cdot °C} \).

مثال: عمق 10م، كثافة الماء 1000كجم/م³، \( g = 9.8 \, \mathrm{m/s^2} \). احسب الضغط.
الحل: \( P = 10 \times 1000 \times 9.8 = 98000 \, \mathrm{Pa} \).

مثال: حجم 0.02م³، ضغط 101325Pa، درجة حرارة 300K، \( R = 8.31 \). احسب عدد المولات.
الحل: \( n = \frac{PV}{RT} = \frac{101325 \times 0.02}{8.31 \times 300} \approx 0.81 \, \mathrm{mol} \).

مثال: تردد الضوء \( 5 \times 10^{14} \, \mathrm{Hz} \). احسب طاقة الفوتون.
الحل: \( E = 6.626 \times 10^{-34} \times 5 \times 10^{14} = 3.313 \times 10^{-19} \, \mathrm{J} \).

مثال: تردد \( 6 \times 10^{14} \, \mathrm{Hz} \)، \( \phi = 2 \times 10^{-19} \, \mathrm{J} \). احسب الطاقة الحركية.
الحل: \( E_k = (6.626 \times 10^{-34} \times 6 \times 10^{14}) - 2 \times 10^{-19} = 1.976 \times 10^{-19} \, \mathrm{J} \).

مثال: إلكترون زخمه \( 2 \times 10^{-24} \, \mathrm{kg \cdot m/s} \). احسب طول الموجة.
الحل: \( \lambda = \frac{6.626 \times 10^{-34}}{2 \times 10^{-24}} = 3.313 \times 10^{-10} \, \mathrm{m} \).

مثال: احسب طاقة الإلكترون في المستوى \( n=2 \).
الحل: \( E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -3.4 \, \mathrm{eV} \).

مثال: احسب طول موجة الانتقال من \( n_2=3 \) إلى \( n_1=2 \).
الحل: \( \frac{1}{\lambda} = 1.097 \times 10^7 \left( \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right) = 1.524 \times 10^6 \)، إذن \( \lambda = \frac{1}{1.524 \times 10^6} \approx 6.56 \times 10^{-7} \, \mathrm{m} \).

مثال: كتلة 1 \times 10^{-3} \, \mathrm{kg} \). احسب الطاقة المكافئة.
الحل: \( E = 1 \times 10^{-3} \times (3 \times 10^8)^2 = 9 \times 10^{13} \, \mathrm{J} \).

مثال: \( N_0 = 1000 \)، \( \lambda = 0.693 \, \mathrm{s^{-1}} \)، \( t = 1 \, \mathrm{s} \). احسب عدد النوى المتبقية.
الحل: \( N = 1000 \times e^{-0.693 \times 1} \approx 500 \).

مثال: \( \lambda = 0.693 \, \mathrm{s^{-1}} \). احسب نصف العمر.
الحل: \( T_{1/2} = \frac{0.693}{0.693} = 1 \, \mathrm{s} \).